\documentclass[10pt]{article}
\title{Transfinite ordinals}

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\begin{document}

\title{Equations de Maxwell modifiées avec monopôles magnétiques}
\author{Jacques Bailhache (jacques.bailhache@gmail.com)}

\maketitle

\setlength{\parindent}{0pt}

\section{Remarque préliminaire}

Pour simplifier les formules, nous utiliserons un système d'unités dans lequel \( c = \epsilon_0 = \mu_0 = 1 \).


\section{Rappels de calcul vectoriel}

\begin{itemize}
    \item div rot = 0
    \item rot grad = 0
    \item \( div\ grad = \Delta \)
    \item \( rot\ rot = grad\ div - \Delta \)
\end{itemize}

\section{Force exercée sur un corps chargé dans un champ électromagnétique}

Cette force vaut :

\[ f = q (\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) \]

où :

\begin{itemize}
    \item f est la force exercée sur le corps
    \item q est la charge électrique du corpt
    \item \( \vec{E} \) est le champ électrique au point où se trouve le corps
    \item \( \vec{v} \) est la vitesse du corps
    \item \( \vec{B} \) est le champ magnétique au point où se trouve le corps.
\end{itemize}

Avec des monopôles magnétique, le rôle des champs électriques et magnétiques serait inversés. 
La force totale devrait donc être de la forme :

\[ f = q (\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) + q_M(\vec{B} - \vec{v} \wedge \vec{E}) \]

où \( q_M \) représente la charge magnétique du corps.



\section{Equations de Maxwell}

Commençons par rappeler les équations de Maxwell :

\begin{itemize}
    \item \( div\ \vec{E} = \rho \)
    \item \( div\ \vec{B} = 0 \)
    \item \( rot\ \vec{E} = - \frac {\partial{\vec{B}}} {\partial{t}} \)
    \item \( rot\ \vec{B} = \vec{j} + \frac {\partial{\vec{E}}} {\partial{t}} \)
\end{itemize}

où \( \rho \) représente la densité de charge et j la densité de courant.

On constate une dissymétrie dans ces équations. 
Pour prendre en compte les monopôles magnétiques, il suffit de les rendre symétriques :

\begin{itemize}
    \item \( div\ \vec{E} = \rho \)
    \item \( div\ \vec{B} = \rho_M \)
    \item \( rot\ \vec{E} = - \vec{j}_M - \frac {\partial{\vec{B}}} {\partial{t}} \)
    \item \( rot\ \vec{B} = \vec{j} + \frac {\partial{\vec{E}}} {\partial{t}} \)
\end{itemize}

où \( \rho_M \) représente la densité de charge magnétique et \( j_M \) la densité de courant magnétique.


\section{Invariance de jauge et potentiels}

On introduit un potentiel scalaire V et un potentiel vecteur \( \vec{A} \).

Ces potentiels vérifient la jauge de Lorentz : \( \frac {\partial{V}} {\partial{t}} + div\ \vec{A} = 0 \).

Ils sont liés aux source par les formules :

\begin{itemize}
    \item \( \frac {\partial^2 V} {\partial t^2} - \Delta V = \rho \)
    \item \( \frac {\partial^2 \vec{A}} {\partial t^2} - \Delta A = j \)
\end{itemize}

Les champs \( \vec{E} \) et \( \vec{B} \) sont obtenus à partir des potentiels par les formules suivantes : 

\begin{itemize}
    \item \( \vec{E} = - grad\ V - \frac {\partial{\vec{A}}} {\partial{t}} \)
    \item \( \vec{B} = rot\ \vec{A} \)
\end{itemize}

On vérifie les formules initiales :

\begin{itemize}
    \item \( div\ \vec{E} = - div\ grad\ V - \frac {\partial} {\partial t} div\ \vec{A} = - \Delta V + \frac {\partial^2 V} {\partial t^2} = \rho \)
    \item \( rot\ \vec{E} = - rot\ grad\ V - \frac {\partial} {\partial t} rot\ \vec{A} = - \frac {\partial \vec{B}} {\partial t} \)
    \item \( div\ \vec{B} = div\ rot\ \vec{A} = 0 \)
    \item \( rot\ \vec{B} = rot\ rot\ \vec{A} = grad\ div\ \vec{A} - \Delta \vec{A} = - grad\ \frac {\partial V} {\partial t} - \Delta A = - \frac {\partial} {\partial t} grad\ V - \Delta \vec{A} = - \frac {\partial} {\partial t} (- \vec{E} - \frac {\partial \vec{A}} {\partial t}) - \Delta A = \frac {\partial \vec{E}} {\partial t} + \frac {\partial^2 A} {\partial t^2} - \Delta A = j + \frac {\partial \vec{E}} {\partial t} \)
\end{itemize}

Pour prendre en compte les monopôles magnétiques, on introduit un potentiel magnétique scalaire \( V_M \) et un potentiel magnétique vecteur \( \vec{A}_M \).

Ces potentiels vérifient également la jauge de Lorentz : \( \frac {\partial{V_M}} {\partial{t}} + div\ \vec{A}_M = 0 \).

Ils sont liés aux source magnétiques par les formules :

\begin{itemize}
    \item \( \frac {\partial^2 V_M} {\partial t^2} - \Delta V_M = \rho \)
    \item \( \frac {\partial^2 \vec{A}_M} {\partial t^2} - \Delta A_M = j \)
\end{itemize}

Les champs \( \vec{E} \) et \( \vec{B} \) sont alors obtenus à partir des potentiels par les formules suivantes : 

\begin{itemize}
    \item \( \vec{E} = - grad\ V - \frac {\partial{\vec{A}}} {\partial{t}} - rot\ \vec{A}_M \)
    \item \( \vec{B} = - grad\ V_M - \frac {\partial{\vec{A}_M}} {\partial{t}} + rot\ \vec{A} \)
\end{itemize}

On vérifie les formules initiales :

\begin{itemize}
    \item \( div\ \vec{E} 
    = - div\ grad\ V - \frac {\partial} {\partial t} div\ \vec{A} - div\ rot\ \vec{A}_M 
    = - div\ grad\ V - \frac {\partial} {\partial t} div\ \vec{A} = - \Delta V + \frac {\partial^2 V} {\partial t^2} 
    = \rho \)
    \item \( rot\ \vec{E} 
    = rot (- grad\ V - \frac {\partial \vec{A}} {\partial t} - rot\ \vec{A}_M)
    = - rot\ grad\ V - \frac {\partial} {\partial t} rot\ \vec{A} - rot\ rot\ \vec{A}_M
    = - \frac {\partial} {\partial t} rot\ \vec{A} - rot\ rot\ \vec{A}_M
    = - \frac {\partial} {\partial t} (\vec{B} + grad\ V_M + \frac {\partial \vec{A}_M} {\partial t}) - rot\ rot\ \vec{A}_M
    = - \frac {\partial \vec{B}} {\partial t} - \frac {\partial} {\partial t} grad\ V_M - \frac {\partial^2 \vec{A}_M} {\partial t^2} - rot\ rot\ \vec{A}_M
    = - \frac {\partial \vec{B}} {\partial t} - \frac {\partial} {\partial t} grad\ V_M - \frac {\partial^2 \vec{A}_M} {\partial t^2} - grad\ div\ \vec{A}_M + \Delta \vec{A}_M
    = - \frac {\partial \vec{B}} {\partial t} - j_M - \frac {\partial} {\partial t} grad\ V_M - grad\ div\ \vec{A}_M 
    = - j_M -\frac {\partial{E}} {\partial t} \)
    \item \( div \vec{B} 
    = - div\ grad\ V_M - \frac {\partial} {\partial t} div\ \vec{A}_M + div\ rot\ \vec{A} 
    = - \Delta V_M + \frac {\partial^2 V_M} {\partial t^2} 
    = \rho_M \)
    \item \( rot \vec{B} 
    = rot (- grad\ V_M - \frac {\partial \vec{A}_M} {\partial t} + rot\ \vec{A}) 
    = - rot\ grad\ V_M - \frac {\partial} {\partial t} rot\ \vec{A}_M + rot\ rot\ \vec{A} 
    = - \frac {\partial} {\partial t} rot\ \vec{A}_M + rot\ rot\ \vec{A} 
    = \frac {\partial} {\partial t} (\vec{E} + grad\ V + \frac {\partial \vec{A}} {\partial t}) + rot\ rot\ \vec{A}
    = \frac {\partial \vec{E}} {\partial t} + \frac {\partial} {\partial t} grad\ V + \frac {\partial^2 \vec{A}} {\partial t^2} + rot\ rot\ A 
    = \frac {\partial \vec{E}} {\partial t} + \frac {\partial} {\partial t} grad\ V + \frac {\partial^2 \vec{A}} {\partial t^2} + grad\ div\ \vec{A} - \Delta \vec{A} 
    = \frac {\partial \vec{E}} {\partial t} + j + \frac {\partial} {\partial t} grad\ V + grad\ div\ \vec{A} 
    = j + \frac {\partial \vec{E}} {\partial t} \)
\end{itemize}




\section{Formulation covariante}

Nous utiliserons une métrique de signature (+ - - -). Si l'espace est euclidien, le tenseur métrique vaut donc :

\[ g^\alpha_\beta =  
\begin{pmatrix} 
   1 &  0 &  0 &  0 \\
   0 & -1 &  0 &  0 \\
   0 &  0 & -1 &  0 \\
   0 &  0 &  0 & -1
\end{pmatrix}
\]


La force exercée sur un corps est :

\[ f^\alpha = q F^\alpha_\beta v^\beta \]

où \( F^\alpha_\beta \) désigne le tenseur électromagnétique :

\[ F^\alpha_\beta =  
\begin{pmatrix} 
  0     &  E_x   &  E_y   &  E_z   \\
  E_x   &  0     &  B_z   &  -B_y  \\
  E_y   &  -B_z  &  0     &  B_x   \\
  E_z   &  B_y   &  -B_x  &  0     
\end{pmatrix}
F^{\alpha\beta} =
\begin{pmatrix} 
  0     &  -E_x  &  -E_y  &  -E_z  \\
  E_x   &  0     &  -B_z  &  B_y   \\
  E_y   &  B_z   &  0     &  -B_x  \\
  E_z   &  -B_y  &  B_x   &  0     
\end{pmatrix}
F_{\alpha\beta} = 
\begin{pmatrix}
  0     &  E_x   &  E_y   &  E_z   \\
  -E_x  &  0     &  -B_z  &  B_y  \\
  -E_y  &  B_z   &  0     &  -B_x   \\
  -E_z  &  -B_y  &  B_x   &  0       
\end{pmatrix}
\]


Avec des monopôles magnétiques, la force devient :

\[ f^\alpha = q F^\alpha_\beta v^\beta + q_M \widetilde{F}^\alpha_\beta v^\beta \]


où \( \widetilde{F} \) désigne le tenseur électromagnétique dual :

\[ \widetilde{F}^\alpha_\beta = - \frac {1} {2} g^{\alpha\zeta} g^{\delta\eta} \varepsilon_{\zeta\beta\gamma\eta} F^\gamma_\delta =
\begin{pmatrix} 
  0     &  B_x   &  B_y   &  B_z   \\
  B_x   &  0     & -E_z   &  E_y  \\
  B_y   &  E_z   &  0     & -E_x   \\
  B_z   & -E_y   &  E_x   &  0     
\end{pmatrix}
\]

où \( \varepsilon \) représente le symbole de Levi-Civita

ce qui correspond à \( F^\alpha_\beta \) avec E et B échangés et le signe de E modifié, ce qui est cohérent avec la formule 

\[ f = q (\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}) + q_M(\vec{B} - \vec{v} \wedge \vec{E}) \].




Les équations de Maxwell en formulation covariante :

\begin{itemize}
    \item \( \partial_\alpha F^{\alpha\beta} = j^{\beta} \)
    \item \( \partial_\alpha \widetilde{F}^{\alpha\beta} = 0 \)
\end{itemize}

avec

\[ j^\beta = 
\begin{pmatrix}
 V \\
 j_x \\ 
 j_y \\
 j_z
\end{pmatrix}
\]

deviennent avec les monopoles magnétiques :

\begin{itemize}
    \item \( \partial_\alpha F^{\alpha\beta} = j^{\beta} \)
    \item \( \partial_\alpha \widetilde{F}^{\alpha\beta} = j_M^\beta \)
\end{itemize}

Sans monopôles magnétiques, le champ électromagnétique s'exprime en fonction du potentiel par :

\[ F^{\alpha\beta} = \partial^\alpha A^\beta - \partial^\beta A^\alpha \]

Avec des monopôles magnétiques, la formule devient :

\[ F^{\alpha\beta} = \partial^\alpha A^\beta - \partial^\beta A^\alpha - \varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu} \partial_\mu A_{M\nu} \]

On a également :

\[ \widetilde{F}^{\alpha\beta} = \partial^\alpha A_M^\beta - \partial^\beta A_M^\alpha + \varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu} \partial_\mu A_\nu \]


\end{document}

