La connexion A_m est le gradient de la phase f : si on part d'un point x^m avec une phase f et qu'on se déplace vers x^m + dx^m on a une phase f + df = f + A_m dx^m. Dans le cas général d'un champ de jauge non alélien (Yang-Mills) on a une phase f^a qui devient f^a + A^a_m dx^m, où a parcourt les dimensions du groupe associé au champ de jauge. Dans le cas de l'électromagnétisme, ce groupe est U(1) et n'a qu'une dimension, donc on peut simplifier en supprimant l'indice a.

On a une analogie entre le potentiel A_m et la connection :
Si on part d'un point x^m avec un vecteur vⁿ et qu'on transporte parallèlement ce vecteur vers x^m + dx^m, on a le vecteur x^m - G^m_r_s v^r dx^s.
On remarque toutefois une différence : dans le cas du champ de jauge, on ajoute une phase A^a_m dx^m alors que dans la connection affine on multiplie v^r par la matrice d^m_r + G^m_r_s dx^s. Je pressens là une analogie avec la différence entre algèbre et groupe de Lie.

Le champ est défini par la variation de phase dans une boucle infinitésimale.
Supposons qu'on effectue une boucle P + dx + dy - dx - dy, en supposant pour simplifier que dx et dy sont dans les directions des vecteurs de base du système de coordonnées.

          A_m + ¶_y A_m dy                 
   P+dy <------------------ P+dx+dy
    |            -dx              |                         |
A_m  | -dy                     |
    |                     +dy | A_m + ¶_x A_m dx
    |                         |
    V            +dx          |
    P ---------------------> P+dx
   f         A_m

On arrive en P + dx avec une phase f + A_x dx. En P + dx, le potentiel est A_m + ¶_x A_m dx. On arrive donc en P + dx + dy avec une phase f + A_x dx + (A_y + ¶_x A_y dx) dy
puis de même en P + dx + dy - dx avec une phase f + A_x dx + (A_y + ¶_x A_y dx) dy - (A_x + ¶_y A_x dy) dx
et on revient en P avec une phase :
f + A_x dx + (A_y + ¶_x A_y dx) dy - (A_x + ¶_y A_x dy) dx - A_y dy
qu'on peut simplifier en f + (¶_x A_y - ¶_y A_x) dx dy = f + F_x_y dx dy.
Dans ce calcul, pour simplifier j'ai supposé que le long d'un trajet le potentiel est celui correspondant à l'extrémité des plus petits x et y, mais j'ai vérifié qu'en prenant le potentiel du milieu du trajet les termes supplémentaires (de la forme 1/2 ¶_x A_x dx²) s'annulent et on trouve le même résultat.

Supposons maintenant qu'on va de P à P + dx + dy en passant par P + dx puis en passant par P + dy et on calcule la différence de phase.
On part de P avec une phase f, on passe en P + dx avec une phase f + A_x dx puis en P + dx + dy avec une phase f + A_x dx + (A_y + ¶_x A_y dx) dy = f + A_x dx + A_y dy + ¶_x A_y dx dy.
On part de P avec une phase f, on passe en P + dy avec une phase f + A_y dy puis en x + dy + dx avec une phase f + A_y dy + (A_x + ¶_y A_x dy) dx = f + A_y dy + A_x dx + ¶_y A_x dx dy.
La différence est :
f + A_y dy + A_x dx + ¶_y A_x dx dy - f + A_x dx + A_y dy + ¶_x A_y dx dy
= (¶_y A_x - ¶_x A_y) dx dy = -F_x_y dx dy.
On trouve l'opposé de la première boucle car ici on tourne dans l'autre sens (-dy-dx+dy+dx).

Il y a une analogie entre le champ et la courbure qui correspond à la transformation d'un vecteur transporté le long d'une boucle infinitésimale. Si on part de P avec un vecteur v^m et on le transporte parrallèlement vers P + dx, on obtient :
(d^m_n - G^m_n_r dx^r) vⁿ = v^m - G^m_n_r vⁿ dx^r
En P + dx, on a une connexion G^m_n_r + ¶_s G^m_n_r dx^s
En transportant le vecteur obtenu en P + dx (soit v^m - G^m_n_r vⁿ dx^r) parallèlement vers P + dx + dy, on le multiplie par
d^m_n - (G^m_n_r + ¶_s G^m_n_r dx^s) dy^r
et on obtient donc :
(d^m_n - (G^m_n_r + ¶_s G^m_n_r dx^s) dy^r) (vⁿ - Gⁿ_t_x v^t dx^x)
= v^m - G^m_t_x v^t dx^x - G^m_n_r vⁿ dy^r - ¶_s G^m_n_r vⁿ dy^r dx^s + G^m_n_r Gⁿ_t_x v^t dx^x dy^r + ¶_s G^m_n_r G_n_t_x v^t dx^x dy^r dx^s
On peut ignorer le dernier terme en dx² dy négligeable devant les termes en dx dy.
Il reste donc :
v^m - G^m_t_x v^t dx^x - G^m_n_r vⁿ dy^r - ¶_s G^m_n_r vⁿ dy^r dx^s + G^m_n_r Gⁿ_t_x v^t dx^x dy^r
Symétriquement, avec le trajet P + dy + dx, on obtient :
v^m - G^m_t_x v^t dy^x - G^m_n_r vⁿ dx^r - ¶_s G^m_n_r vⁿ dx^r dy^s + G^m_n_r Gⁿ_t_x v^t dy^x dx^r
En faisant la différence, les termes V^m, G^m_t_x v^t dx^x et G^m_n_r vⁿ dy^r s'annulent. Il reste :
¶_s G^m_n_r vⁿ dx^s dy^r - ¶_s G^m_n_r vⁿ dx^r dy^s + G^m_l_r G^l_n_s vⁿ dx^r dy^s - G^m_l_s G^l_n_r vⁿ dx^r dy^s
= R^m_n_r_s vⁿ dx^r dy^s
Un autre calcul similaire (moins clair à mon avis) se trouve dans http://vishnu.mth.uct.ac.za/omei/gr/chap6/node9.html
Une boucle -dy-dx+dy+dy multiplie donc vⁿ par la matrice d^m_n + R^m_n_r_s dx^r dy^s
Une boucle en sens inverse +dx+dy-dx-dy multiplie vⁿ par d^m_n - R^m_n_r_s dx^r dy^s et ajoute F_x_y dx dy à la phase.
On a donc une correspondance entre le potentiel et la connexion d'une part, et entre le champ et la courbure d'autre part.

La théorie de Kaluza Klein met en évidence une autre correspondance entre le potentiel et la métrique d'une part, et entre le champ et la connexion d'autre part.
Il s'agit d'une théorie dans laquelle la seule force est la gravitation dans un espace produit de l'espace-temps par le groupe associé au champ de jauge : U(1) pour l'électromagnétisme, SU(2) pour l'interaction faible, SU(3) pour l'interation forte, SU(5) pour la théorie unifiée.
Le potentiel est introduit dans les "vielbeins" qui sont les généralisations des tétrades ou vierbeins dans un espace à un nombre quelconque de dimensions. (voir Tetrad Formalism)
On définit la matrice de changement de base e^a_m entre un système de coordonnées localement plat et un système de coordonnées curviligne. Le tenseur métrique en coordonnées curviligne est :
g_m_n = h_a_b e^a_m e^b_n
où h_a_b est le tenseur métrique de l'espace-temps plat : 1 -1 -1 -1 dans la diagonale, 0 ailleurs.
On introduit le potentiel dans la matrice e^a_m de la façon suivante :

e^a_m = ( e'^a'_m'           0      )
     ( e''^a''_n'' A^n''_m'   e''^a''_m'' )

où les ' désignent l'espace-temps et les '' les dimensions compactifiées associées au groupe du champ de jauge.

Pour simplifier les calculs, on peut attribuer des indices différents aux dimensions étendues et compactifiées, par exemple: t=0, x=1, y=2, z=3 et 4 à d-1 pour les dimensions compactifiées, et considérer que les indices de tous les tenseurs varient de 0 à d-1, en complétant avec des 0, par exemple :

A^a_m = ( 0     0 )
      ( A^a_m   0 )

Avec cette convention, on a :
e^a_m = e'^a_m + e''^a_n Aⁿ_m + e''^a_m
= e'^a'_m + e''^a_n (Aⁿ_m + dⁿ_m)
= e'^a_m + e''^a_m + e''^a_m A^m_m

Le tenseur métrique en coordonnées curviligne est alors :
g_m_n = h_a_b e^a_m e^b_n
= h_a_b (e'^a_m + e''^a_m + e''^a_m A^m_m) (e'^b_n + e''^b_n + e''^b_n Aⁿ_n)
= h_a_b e'^a_m e'^b_n + h_a_b e'^a_m e''^b_n + h_a_b e'^a_m e''^b_n Aⁿ_n + h_a_b e''^a_m e'^b_n + h_a_b e''^a_m e''^b_n + h_a_b e''^a_m e''^b_n Aⁿ_n + h_a_b e''^a_m A^m_m e'^b_n + h_a_b e''^a_m A^m_m e''^b_n + h_a_b e''^a_m A^m_m e''^b_n Aⁿ_n
Etant donné que h_a_b e'^a_m e''^b_n = 0 (car h_a_b est non nul pour a = b, e'^a_m est non nul pour a entre 0 et 3 et e''^b_n est non nul pour b entre 4 et d-1) et de même pour h_a_b e''^a_m e'^b_n, on a: g_m_n = h_a_b e'^a_m e'^b_n + h_a_b e''^a_m e''^b_n + h_a_b e''^a_m e''^b_n Aⁿ_n + h_a_b e''^a_m A^m_m e''^b_n + h_a_b e''^a_m A^m_m e''^b_n Aⁿ_n
= g'_m_n + g''_m_n + g''_m_n Aⁿ_n + g''_m_n A^m_n + g''_m_n A^m_m Aⁿ_n
Voir aussi Reduction of the Low Energy String Effective Action
On voit ici que le potentiel A apparait dans les composantes 4 à d-1 du tenseur métrique.

La connexion est définie en fonction de la métrique par :
G^l_m_n = 1/2 ( ¶_n g_r_m + ¶_m g_r_n - ¶_r g_m_n ) g^l^r
Je ne développerai pas le calcul détaillé ici mais il fait apparaitre le champ F^r_m_n dans G^m_n_r et G^m_r_n pour r entre 4 et d-1, et en considérant la charge comme les composantes de l'impulsion dans les dimensions compactifiées, l'équation des géodésiques d²x^l/dt² = - G^l_m_n dx^m/dt dxⁿ/dt permet de retrouver la force : par exemple dans le cas de l'électromagnétisme : f^l = m d²x^l/dt² = q dx^m/dt F^l_m.